4. Digitale Modulatie¶

In dit hoofdstuk gaan we met behulp van digitale modulatie data echt versturen en draadloze symbolen behandelen! We gaan signalen ontwerpen die “informatie” bevatten, dus 1’en en 0’en, door gebruik van modulatietechnieken zoals ASK, PSK, QAM en FSK. We zullen ook IQ-diagrammen en constellaties behandelen en het hoofdstuk afsluiten met wat Python voorbeelden.

Het grote doel van moduleren is om zoveel mogelijk data in een zo klein mogelijk spectrum te proppen. Technisch gezegd willen we de “spectrale efficiëntie” (bits/sec/Hz) maximaliseren. 1’en en 0’en sneller versturen zal de bandbreedte van ons signaal groter doen maken (denk aan de Tijd-Frequentie Eigenschappen), wat betekent dat meer van het spectrum wordt gebruikt. Naast snellere transmissie zullen we ook andere technieken bekijken. Er zijn veel afwegingen voor de modulatiekeuze, maar er is ook vrijheid voor creativiteit.

4.1. Symbolen¶

Waarschuwing: nieuwe term! Het uitgaande signaal zal worden opgebouwd uit “symbolen”. Elk symbool zal een aantal bits aan informatie bevatten en we willen symbolen achter elkaar versturen, duizenden of miljoenen in een rij.

Als een versimpeld voorbeeld, laten we zeggen dat we 1’en en 0’en sturen met hoge en lage spanningsniveaus. Een symbool is zo’n 1 of 0:

Pulse train of ones and zeros depicting the concept of a digital symbol that carries information

In het bovenstaande voorbeeld stelt een symbool slechts een bit voor. Hoe kunnen we meerdere bits per symbool overbrengen? Laten we gaan kijken hoe signalen over ethernetkabels worden gestuurd, dit is vastgelegd in een IEEE standaard genaamd IEEE 802.3 1000BASE-T. In normale situaties gebruikt ethernet amplitudemodulatie met 4 niveaus (2 bits per symbool) en 8 ns symbolen.

Plot of IEEE 802.3 1000BASE-T ethernet voltage signal showing 4-level amplitude shift keying (ASK)

Neem een moment om deze vragen te beantwoorden:

  1. Hoeveel bits per seconde worden overgestuurd in het bovenstaande voorbeeld?

  2. Hoeveel data-draden zouden nodig zijn om 1 gigabit/sec te versturen?

  3. Als een modulatieschema 16 verschillende niveaus heeft, hoeveel bits per symbool is dat?

  4. Met 16 verschillende niveaus en 8ns symbolen, hoeveel bits per seconde is dat?

Antwoorden
  1. 250 Mbps - (1/8e-9)*2

  2. Vier (wat ethernet kabels ook hebben)

  3. 4 bits per symbool - log_2(16)

  4. 0.5 Gbps - (1/8e-9)*4

4.2. Draadloze Symbolen¶

Vraag: Waarom kunnen we het ethernet signaal van hierboven niet direct versturen? Er zijn vele redenen, maar de belangrijkste zijn:

  1. Lage frequenties hebben enorme antennes nodig en het signaal bevat frequenties tot het DC-component (0 Hz). DC kunnen we niet versturen.

  2. Blokgolven nemen voor het aantal bits-per-seconde een overbodige hoeveelheid ruimte van het spectrum in – herinner van het Het Frequentiedomein hoofdstuk dat scherpe veranderingen in het tijddomein een grote hoeveelheid bandbreedte/spectrum gebruiken:

Een blokgolf in het tijd- en frequentiedomein dat laat zien dat het een groot deel van het spectrum gebruikt.

Wat we voor draadloze signalen doen is beginnen met een draaggolf, wat gewoon een sinusoïde is. FM-radio gebruikt bijvoorbeeld een draaggolf als 101.1 MHz of 100.3 MHz. We moduleren die draaggolf op een bepaalde manier (er zijn vele). In geval van FM-radio is dit analoge modulatie, niet digitaal, maar het concept is hetzelfde als bij digitale modulatie.

Op wat voor manier kunnen we de draaggolf moduleren? Een andere manier om dit te vragen is: Wat zijn de verschillende eigenschappen van een sinusoïde?

  1. Amplitude

  2. Fase

  3. Frequentie

Door een of meerdere van deze drie aan te passen kunnen we data op een draaggolf moduleren.

4.3. Amplitude Shift Keying (ASK)¶

Amplitude Shift Keying (ASK) (Nederlands: amplitudeverschuivingsmodulatie) is het eerste digitale modulatieschema dat we zullen bespreken want het is van de drie sinusoïde eigenschappen het simpelst te visualiseren. We moduleren letterlijk de amplitude van de draaggolf. Hier is een voorbeeld van ASK met 2 niveaus, genaamd 2-ASK:

Voorbeeld van 2-ASK in het tijddomein.

Let op hoe de gemiddelde waarde nul is; dit heeft altijd onze voorkeur.

We kunnen meer dan twee niveaus gebruiken om meer bits per symbool te versturen. Hieronder een voorbeeld van 4-ASK. In dit geval bevat elk symbool 2 bits aan informatie.

Voorbeeld van 4-ASK in het tijddomein.

Vraag: Hoeveel symbolen kun je in het signaal hierboven onderscheiden? Hoeveel bits worden in totaal verzonden?

Antwoorden

20 symbolen, dus 40 bits aan informatie

Hoe kunnen we eigenlijk dit signaal met code creëren? Het enige wat we hoeven te doen, is een vector van N samples per symbool maken, en dat vermenigvuldigen met een sinusoïde. Dit moduleert ons signaal op de draaggolf (de sinusoïde is die draaggolf). Het voorbeeld hieronder laat 2-ASK zien met 10 symbolen per seconde.

Samples per symbol depiction using 2-ASK in the time domain, with 10 samples per symbol (sps)

Het bovenste figuur laat de discrete samples zien als rode punten, dus ons digitale signaal. Het onderste figuur laat zien hoe het resulterende gemoduleerde signaal eruitziet, dit zou door de lucht verzonden kunnen worden. In echte systemen is de frequentie van de draaggolf veel hoger dan de snelheid waarmee de symbolen afwisselen. In ons voorbeeld zijn er maar 3 perioden van de draaggolf per symbool, maar in de praktijk zouden er duizenden kunnen zijn, afhankelijk van hoe hoog in het spectrum het verzonden wordt.

4.4. Phase Shift Keying (PSK)¶

Laten we overwegen om de fase op dezelfde manier te moduleren als we met de amplitude hebben gedaan. De simpelste vorm is Binaire PSK (BPSK) waar er twee faseniveaus zijn:

  1. Geen faseverandering

  2. 180 graden faseverandering

Voorbeeld van BPSK (let op de faseveranderingen):

Simple example of binary phase shift keying (BPSK) in the time domain, showing a modulated carrier

Het is niet zo leuk om naar figuren te kijken als deze:

Phase shift keying like BPSK in the time domain is difficult to read, so we tend to use a constellation plot or complex plane

In plaats daarvan laten we de fase meestal zien in het complexe vlak.

4.5. IQ Diagrammen/Constellaties¶

Je hebt al eerder complexe nummers in IQ-diagrammen gezien in het Complexe Getallen deel, maar nu gaan we ze op een nieuwe en grappige manier gebruiken. We kunnen de amplitude en fase in een IQ-diagram laten zien voor een gegeven symbool. In geval van het BPSK-voorbeeld hadden we fasen van 0 en 180 graden. Laten we die punten eens plaatsen in het IQ-diagram. We gaan uit van een modulus/amplitude van 1. In de praktijk maakt het niet echt uit welke modulus je gebruikt; een hogere waarde betekent een hoger signaalvermogen, je zou ook gewoon de versterking hoger kunnen zetten.

IQ plot or constellation plot of BPSK

Het bovenstaande IQ-diagram laat zien wat, of eigenlijk de set van symbolen waaruit, we versturen. Het laat de draaggolf niet zien, dus je kunt dit zien als basisband-symbolen. Wanneer we voor een modulatieschema de mogelijke set van symbolen laten zien, noemen we dat de “constellatie”. Vele modulatieschema’s kunnen door hun constellaties worden gedefinieerd.

Om BPSK te ontvangen en decoderen kunnen we IQ-sampling toepassen, zoals we hebben geleerd in het vorige hoofdstuk, en bekijken waar de punten terechtkomen in het IQ-diagram. Door het draadloze kanaal zal er echter wel een willekeurige faserotatie plaatsvinden, want het signaal loopt een willekeurige vertraging op wanneer het zich door de lucht en tussen de antennes voortplant. Verschillende methodes waar we later over leren kunnen deze willekeurige faserotatie tenietdoen. Hier zijn een paar voorbeelden van hoe het BPSK-signaal eruit zou kunnen zien bij de ontvanger (zonder ruis).

A random phase rotation of BPSK occurs as the wireless signal travels through the air

Terug naar PSK. Wat als we vier verschillende fasen zouden willen? Bijv., 0, 90, 180 en 270 graden. Dat zou als volgt getoond kunnen worden in het IQ-diagram, dit vormt het Quadrature Phase Shift Keying (QPSK) schema:

Example of Quadrature Phase Shift Keying (QPSK) in the IQ plot or constellation plot

We hebben voor PSK altijd N verschillende hoeken/fasen, voor het beste resultaat evenredig over de 360 graden verdeeld. Meestal laten we ook de eenheidscirkel zien om aan te geven dat alle punten dezelfde modulus hebben:

Phase shift keying uses equally spaced constellation points on the IQ plot

Vraag: Is er wat mis met het gebruik van het onderstaande PSK-schema? Is dit een PSK-modulatieschema?

Example of non-uniformly spaced PSK constellation plot
Antwoord

Er is niets onmogelijks aan dit PSK-schema. Je kunt het zeker gebruiken, maar, het schema is niet zo effectief als mogelijk omdat de symbolen niet uniform verdeeld zijn. Wanneer we ruis op onze symbolen gaan behandelen wordt schema-efficiëntie duidelijk. Het korte antwoord is dat we zoveel mogelijk ‘ruimte’ tussen de symbolen willen houden voor het geval er ruis is, zodanig dat bij de ontvanger een symbool niet als een van de andere (incorrecte) symbolen wordt opgevat. We willen niet een 0 ontvangen als een 1.

Even terug naar ASK. Net als PSK kun je ASK ook laten zien in het IQ-diagram. Hier is het IQ-diagram van 2-ASK, 4-ASK, en 8-ASK, in bipolaire vorm, en ook 2-ASK en 4-ASK in de unipolaire vorm.

Bipolar and unipolar amplitude shift keying (ASK) constellation or IQ plots

Misschien is het je al opgevallen, de bipolaire 2-ASK en BPSK zijn hetzelfde. Een fasedraaiing van 180 graden is hetzelfde als een sinusoïde vermenigvuldigen met -1. We noemen het waarschijnlijk BPSK omdat dit veel meer wordt gebruikt dan ASK.

4.6. Quadrature Amplitude Modulation (QAM)¶

En wat gebeurt er als we ASK en PSK combineren? Dit modulatieschema noemen we Quadrature Amplitude Modulation (QAM) (Nederlands: kwadratuuramplitudemodulatie). QAM ziet er meestal ongeveer zo uit:

Example of Quadrature Amplitude Modulation (QAM) on the IQ or constellation plot

En nog wat voorbeelden van QAM:

Example of 16QAM, 32QAM, 64QAM, and 256QAM on the IQ or constellation plot

Technisch gezien, omdat de fase en amplitude gemoduleerd worden, kunnen we voor QAM de punten op het IQ-diagram plaatsen waar we willen. Voor een gegeven QAM-schema zijn de “parameters” het best te beschrijven met een QAM-constellatie. Aan de andere kant zou je de I en Q waarden voor elk punt kunnen beschrijven, zoals hieronder voor QPSK:

Constellation or IQ plots can also be represented using a table of symbols

Hierbij de opmerking dat de meeste modulatieschema’s, behalve sommige ASK’s en BPSK, vrij moeilijk in het tijddomein zijn te herkennen. Om dit punt thuis te brengen is hier een voorbeeld van hoe QAM in het tijddomein eruitziet. Kun jij in het onderstaande figuur van elk symbool de fase onderscheiden? Dat is lastig.

Looking at QAM in the time domain is difficult which is why we use constellation or IQ plots

Gezien de uitdaging om in het tijddomein modulatieschema’s te herkennen, gebruiken we liever IQ-diagrammen dan een tijddomein figuur. Toch zouden we een tijddomein-signaal laten zien wanneer een bepaalde pakketopbouw of volgorde van symbolen van invloed is.

4.7. Frequency Shift Keying (FSK)¶

De laatste op ons lijstje is Frequency Shift Keying (FSK) (Nederlands: Frequentieverschuivingsmodulatie). FSK is niet moeilijk te vatten – we schuiven tussen N frequenties waarbij elke frequentie een symbool voorstelt. Omdat we een draaggolf moduleren, is het eigenlijk de draaggolffrequentie +/- deze N frequenties. Als we bijv. een draaggolf hebben van 1.2 GHz, dan zouden we kunnen schuiven tussen deze vier frequenties:

  1. 1.2005 GHz

  2. 1.2010 GHz

  3. 1.1995 GHz

  4. 1.1990 GHz

Dit zou dan om 4-FSK met twee bits per symbool gaan. In het frequentiedomein zou 4-FSK er zo uit kunnen zien:

Example of Frequency Shift Keying (FSK), specifically 4FSK

Een belangrijke vraag die je jezelf moet stellen is: Welke afstand moet ik tussen de frequenties aanhouden? Deze afstand wordt vaak aangegeven als \Delta f in Hz. Om er voor te zorgen dat de ontvanger symbolen aan frequenties kan koppelen, willen we vermijden dat signalen in het frequentiedomein overlappen, dus \Delta f moet groot genoeg zijn. De bandbreedte van elke draaggolf is een functie van de symboolsnelheid. Meer symbolen per seconde geeft kortere symbolen en dus een grotere bandbreedte (denk aan de inverse relatie tussen tijd en frequentie). Hoe sneller we symbolen gaan oversturen, hoe breder elke draaggolf wordt en dus hoe groter we \Delta f moeten maken om te voorkomen dat de draaggolven elkaar overlappen.

Frequency Shift Keying (FSK) or 2FSK in the time domain

Als bijzaak, FM-radio gebruikt frequentiemodulatie (FM). Dit is een analoge versie van FSK. In plaats van het springen tussen discrete frequenties, gebruikt de FM-zender een continu audiosignaal waarmee het de frequentie van de draaggolf moduleert. Hieronder is een voorbeeld te zien van FM- en AM-modulatie, waarbij het “signaal” waarmee gemoduleerd wordt, in het bovenste figuur te zien is.

Animation of a carrier, amplitude modulation (AM), and frequency modulation (FM) in the time domain

In dit boek maken we ons vooral druk over de digitale vormen van modulatie.

4.8. Differentiële Codering¶

Je zult waarschijnlijk in de meeste draadloze (en bedraade) op PSK of QAM gebaseerde communicatieprotocollen, een stap tegenkomen dat net voor (of na) de bitmodulatie plaatsvindt. Deze stap wordt differentiële codering genoemd. Om het nut hiervan aan te tonen, gaan we naar de ontvangst van een BPSK-signaal kijken. Zoals eerder is verteld, wanneer dit signaal door de lucht vliegt ervaart het een willekeurige vertraging tussen zender en ontvanger, dit veroorzaakt een willekeurige draaiing/rotatie in de constellatie. De ontvanger zal nu proberen te synchroniseren en de BPSK uit te lijnen met de (reeele) I-as, maar het heeft geen idee of het 180 graden uit fase loopt of niet, de constellatie is symmetrisch. Een oplossing is om door de informatie heen symbolen toe te voegen waarvan de waarde bij de ontvanger al bekend is. Dit worden piloot-symbolen genoemd. De ontvanger kan voor PSK deze piloot-symbolen gebruiken om te bepalen welk cluster van het constellatiediagram een 1 of 0 is. Piloot-symbolen moeten met een bepaalde periodetijd worden verstuurd, dit is afhankelijk van hoe snel het draadloze kanaal verandert, wat uiteindelijk zal leiden tot een lagere datarate. In plaats van piloot-symbolen kunnen we er ook voor kiezen om differentiële codering te gebruiken.

De meest eenvoudige vorm van differentiële codering wordt gebruikt in combinatie met BPSK (wat een bit per symbool gebruikt). In plaats van een 1 en -1 te versturen voor een binaire 1 en 0, zorgt de differentiële codering ervoor dat een 0 wordt gestuurd wanneer de ingangsbit gelijk is aan de gecodeerde vorige bit, en een 1 wordt gestuurd als de bits verschillen. Er wordt nog steeds dezelfde hoeveelheid bits verstuurd (plus een extra om de reeks te starten), maar we hoeven ons niet meer druk te maken over een mogelijke 180 graden draaiing. Dit worden beschreven met de volgende vergelijkingm waarbij x de ingangsbits zijn en y de uitgangsbits die vervolgens met BPSK worden gemoduleerd:

y_i = y_{i-1} \oplus x_i

Omdat de uitgang van de vorige uitgang afhankelijk is, zullen we moeten starten met een willekeurige 1 of 0, en zoals we zullen laten zien tijdens het decoderen, maakt het niet uit welke we kiezen (we moeten nog steeds deze startbit versturen!).

Voor de visuele mensen: deze coderingsstap kan ook als diagram worden weergeven. Hierbij is het vertragingblok een vertraging van 1:

Differential coding block diagram

Laten we als voorbeeld de 10 bits [1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0] versturen met BPSK. We beginnen de uitgangsreeks met 1; het maakt niet uit of je 1 of 0 gebruikt. Het helpt om de bits op elkaar te stapelen, waarbij je de ingang verschuift om ruimte te maken voor de startbit van de uitgang:

Input:     1 1 0 0 1 1 1 1 1 0
Output:  1

Nu bepaal je de uitgang door de ingangsbit te vergelijken met de vorige **uitgangs**bit en de XOR-operatie toe te passen die in de bovenstaande tabel wordt getoond. De volgende uitgangsbit is daarom een 0, omdat 1 en 1 overeenkomen:

Input:     1 1 0 0 1 1 1 1 1 0
Output:  1 0

Blijf dit herhalen zodat je dit krijgt:

Input:     1 1 0 0 1 1 1 1 1 0
Output:  1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0

Dus na de differentiele codering zouden we uiteindelijk [1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0] versturen. De 1’en en 0’en worden nog steeds aan de positieve en negatieve symbolen gekoppeld.

Het decoderen bij de ontvanger is eenvoudiger te begrijpen. De ontvanger vergelijkt de ontvangen bit met de vorige ontvangen bit:

x_i = y_i \oplus y_{i-1}

Zou je nu [1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0] ontvangen, dan begin je aan de linkerkant en kijk je of de eerste twee overeenkomen; in dit geval niet, dus de eerste bit is een 1. Herhaal dit en je krijgt de reeks waarmee we zijn begonnen, [1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0]. Het is misschien niet duidelijk, maar de startbit die we hebben toegevoegd had een 1 of een 0 kunnen zijn en we zouden hetzelfde resultaat krijgen.

Dit proces van (de)coderen wordt hieronder getoond:

Demonstration of differential coding using sequence of encoded and decoded bits

Het grote nadeel van differentiële codering is dat een verkeerde bit tot twee bitfouten zal leiden. Een alternatief voor differentiële codering is om de eerder besproken piloot-symbolen te sturen, wat ook gebruikt kan worden om multi-path problemen te verhelpen. Maar een probleem met deze oplossing is dat een draadloos kanaal snel kan veranderen, helemaal als de zender/ontvanger in beweging zijn, dus dan moet je die piloot-symbolen vaak genoeg versturen om dit te kunnen verhelpen. Differentiële codering is veel eenvoudiger om te implementeren, dus als eenvoud belangrijker is dan hier en daar een verloren bit, dan zal dit de voorkeur hebben. In het :ref:`rds-chapter`hoofdstuk, behandelen we RDS, dit gebruikt dus de (minder complexe) differentiële codering.

Vergeet niet dat het bovenstaande voorbeeld specifiek over BPSK gaat. Differentiële codering is een symbool-gebaseerde codering, dus om het toe te passen op QPSK, werk je met paren van bits tegelijk, en zo verder voor hogere QAM-schema’s. Differentiële QPSK wordt vaak DQPSK genoemd.

4.9. Voorbeeld in Python¶

Laten we als voorbeeld QPSK in de basisband genereren en in een constellatiediagram tonen met Python.

We zouden een lijstje van complexe symbolen kunnen intypen, maar laten we beginnen met het feit dat QPSK vier symbolen heeft met afstanden van 90-graden op de eenheidscirkel. We gaan 45, 135, 225 en 315 graden gebruiken voor onze punten/symbolen. Voordat we het omzetten naar radialen zullen we eerst een duizend symbolen genereren, die willekeurig een getal krijgen tussen de 0 en 3.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

aantal_symbolen = 1000

x_int = np.random.randint(0, 4, aantal_symbolen) # 0 tm 3
x_graden = x_int*360/4.0 + 45 # 45, 135, 225, 315 graden
x_radialen = x_graden*np.pi/180.0 # sin() en cos() willen radialen
x_symbolen = np.cos(x_radialen) + 1j*np.sin(x_radialen) # Dit genereert onze complexe QPSK symbolen
plt.plot(np.real(x_symbolen), np.imag(x_symbolen), '.')
plt.grid(True)
plt.show()
QPSK generated or simulated in Python

Zie hoe alle symbolen overlappen? Er is geen ruis dus de symbolen hebben exact dezelfde waarden. We gaan wat ruis toevoegen:

n = (np.random.randn(aantal_symbolen) + 1j*np.random.randn(aantal_symbolen))/np.sqrt(2) # AWGN met vermogen van 1
ruisvermogen = 0.01
r = x_symbolen + n * np.sqrt(ruisvermogen)
plt.plot(np.real(r), np.imag(r), '.')
plt.grid(True)
plt.show()
QPSK with AWGN noise generated or simulated in Python

De additieve witte Gaussische ruis (AWGN) veroorzaakt een spreiding rondom elk constellatiepunt. Ruis wordt behandeld in het Gaussische Ruis hoofdstuk. Het punt is, als er te veel ruis wordt toegevoegd dan zullen sommige symbolen/samples over de grens (de vier kwadranten) gaan en incorrect geïnterpreteerd worden. Probeer dit zelf uit door het ruisvermogen toe te laten nemen.

Je zou ook de faseruis kunnen simuleren, wat door variaties in de lokale oscillator (LO) zou kunnen ontstaan, door r te vervangen met:

fase_ruis = np.random.randn(len(x_symbolen)) * 0.1 # de "kracht" van de faseruis verandert met de vermenigvuldingsfactor
r = x_symbolen * np.exp(1j*fase_ruis)
QPSK with phase jitter generated or simulated in Python

Je zou zelfs AWGN kunnen combineren met de faseruis om het probleem volledig te ervaren:

QPSK with AWGN noise and phase jitter generated or simulated in Python

We gaan op dit punt stoppen. Als we de tijddomein-versie van het QPSK-signaal zouden willen zien dan zouden we meerdere samples per symbool moeten genereren (in dit voorbeeld was het 1 sample per symbool). Wanneer we het over pulsvorming gaan hebben zul je leren hoe je meerdere samples per symbool genereert. Het Python-voorbeeld in het Pulse Shaping hoofdstuk zal verder gaan waar we nu zijn gestopt.

4.10. Extra Leesmateriaal¶

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_coding