4. Modulaci贸n Digital

En este cap铆tulo discutiremos la transmisi贸n real de datos usando modulaci贸n digital y s铆mbolos inal谩mbricos. Dise帽aremos se帽ales que transmitan 鈥渋nformaci贸n鈥, por ejemplo, 1 y 0, utilizando esquemas de modulaci贸n como ASK, PSK, QAM y FSK. Tambi茅n discutiremos los diagramas y constelaciones de IQ y finalizaremos el cap铆tulo con algunos ejemplos de Python.

El objetivo principal de la modulaci贸n es exprimir la mayor cantidad de datos en la menor cantidad de espectro posible. T茅cnicamente hablando, queremos maximizar la 鈥渆ficiencia espectral鈥 en unidades bits/seg/Hz. Transmitir unos y ceros m谩s r谩pido aumentar谩 el ancho de banda de nuestra se帽al (recordemos las propiedades de Fourier), lo que significa que se utiliza m谩s espectro. Tambi茅n examinaremos otras t茅cnicas adem谩s de transmitir m谩s r谩pido. Habr谩 muchas compensaciones a la hora de decidir c贸mo modular, pero tambi茅n habr谩 espacio para la creatividad.

Simbolos

隆Alerta de nuevo t茅rmino! Nuestra se帽al de transmisi贸n estar谩 compuesta de 鈥渟铆mbolos鈥. Cada s铆mbolo llevar谩 una cierta cantidad de bits de informaci贸n y transmitiremos s铆mbolos uno tras otro, miles o incluso millones en fila.

Como ejemplo simplificado, digamos que tenemos un cable y estamos enviando unos y ceros usando niveles de voltaje alto y bajo. Un s铆mbolo es uno de esos 1 o 0:

Pulse train of ones and zeros depicting the concept of a digital symbol that carries information

En el ejemplo anterior, cada s铆mbolo representa un bit. 驴C贸mo podemos transmitir m谩s de un bit por s铆mbolo? Estudiemos las se帽ales que viajan por los cables Ethernet, que se define en un est谩ndar IEEE llamado IEEE 802.3 1000BASE-T. El modo de funcionamiento com煤n de Ethernet utiliza una modulaci贸n de amplitud de 4 niveles (2 bits por s铆mbolo) con s铆mbolos de 8 ns.

Plot of IEEE 802.3 1000BASE-T ethernet voltage signal showing 4-level amplitude shift keying (ASK)

T贸mate un momento para intentar responder estas preguntas:

  1. 驴Cu谩ntos bits por segundo se transmiten en el ejemplo mostrado arriba?

  2. 驴Cu谩ntos pares de estos cables de datos se necesitar铆an para transmitir 1 gigabit/seg?

  3. Si un esquema de modulaci贸n tiene 16 niveles diferentes, 驴cu谩ntos bits por s铆mbolo son?

  4. Con 16 niveles diferentes y s铆mbolos de 8 ns, 驴cu谩ntos bits por segundo son eso?

Answers
  1. 250Mbps - (1/8e-9)*2

  2. Cuatro (que es lo que tienen los cables ethernet)

  3. 4 bits por s铆mbolo - log_2(16)

  4. 0,5 Gbps - (1/8e-9)*4

Simbolos por un medio inal谩mbrico

Pregunta: 驴Por qu茅 no podemos transmitir directamente la se帽al de Ethernet que se muestra en la figura anterior? Hay muchas razones, las dos m谩s importantes son:

  1. Las bajas frecuencias requieren antenas enormes, y la se帽al anterior contiene frecuencias de hasta CC (0 Hz). No podemos transmitir DC.

  2. Las ondas cuadradas ocupan una cantidad excesiva de espectro para los bits por segundo. En el capitulo Dominio de la Frecuencia vimos que los cambios bruscos en el dominio del tiempo utilizan una gran cantidad de ancho de banda/espectro:

A square wave in time and frequency domain showing the large amount of bandwidth that a square wave uses

Lo que hacemos con las se帽ales inal谩mbricas es comenzar con una portadora, que es simplemente una sinusoide. Por ejemplo, la radio FM utiliza una portadora como 101,1 MHz o 100,3 MHz. Modulamos esa portadora de alguna manera (hay muchas). Para la radio FM es una modulaci贸n anal贸gica, no digital, pero es el mismo concepto que la modulaci贸n digital.

驴De qu茅 manera podemos modular la portadora? Otra forma de hacer la misma pregunta: 驴cu谩les son las diferentes propiedades de una sinusoide?

  1. amplitud

  2. Fase

  3. Frecuencia

Podemos modular nuestros datos en un soporte modificando cualquiera (o m谩s) de estos tres.

Amplitude Shift Keying (ASK)

Amplitude Shift Keying (ASK) es el primer esquema de modulaci贸n digital que analizaremos porque la modulaci贸n de amplitud es la m谩s sencilla de visualizar de las tres propiedades sinusoideas. Literalmente modulamos la amplitud de la portadora. Aqu铆 hay un ejemplo de ASK de 2 niveles, llamado 2-ASK:

Example of amplitude shift keying (ASK) in the time domain, specifically 2-ASK

Observe c贸mo el valor promedio es cero; Siempre preferimos esto siempre que sea posible.

Podemos usar m谩s de dos niveles, lo que permite m谩s bits por s铆mbolo. A continuaci贸n se muestra un ejemplo de 4-ASK. En este caso cada s铆mbolo lleva 2 bits de informaci贸n.

Example of amplitude shift keying (ASK) in the time domain, specifically 4-ASK

Pregunta: 驴Cu谩ntos s铆mbolos se muestran en el fragmento de se帽al de arriba? 驴Cu谩ntos bits est谩n representados en total?

Answers

20 s铆mbolos, es decir, 40 bits de informaci贸n.

驴C贸mo creamos realmente esta se帽al digitalmente, a trav茅s de c贸digo? Todo lo que tenemos que hacer es crear un vector con N muestras por s铆mbolo y luego multiplicar ese vector por una sinusoide. Esto modula la se帽al sobre una portadora (la sinusoide act煤a como esa portadora). El siguiente ejemplo muestra 2-ASK con 10 muestras por s铆mbolo.

Samples per symbol depiction using 2-ASK in the time domain, with 10 samples per symbol (sps)

El gr谩fico superior muestra las muestras discretas representadas por puntos rojos, es decir, nuestra se帽al digital. El gr谩fico inferior muestra c贸mo se ve la se帽al modulada resultante, que podr铆a transmitirse por aire. En los sistemas reales, la frecuencia de la portadora suele ser mucho mayor que la velocidad a la que cambian los s铆mbolos. En este ejemplo hay s贸lo tres ciclos de la sinusoide en cada s铆mbolo, pero en la pr谩ctica puede haber miles, dependiendo de qu茅 tan alto en el espectro se est茅 transmitiendo la se帽al.

Phase Shift Keying (PSK)

Ahora consideremos modular la fase de manera similar a como lo hicimos con la amplitud. La forma m谩s simple es PSK binario, tambi茅n conocido como BPSK, donde hay dos niveles de fase:

  1. Sin cambio de fase

  2. Cambio de fase de 180 grados

Ejemplo de BPSK (tenga en cuenta los cambios de fase):

Simple example of binary phase shift keying (BPSK) in the time domain, showing a modulated carrier

No es muy divertido ver tramas como esta:

Phase shift keying like BPSK in the time domain is difficult to read, so we tend to use a constellation plot or complex plane

En cambio, normalmente representamos la fase en el plano complejo.

Gr谩ficas IQ y Constelaciones

Ya has visto gr谩ficos IQ antes en la subsecci贸n de n煤meros complejos del capitulo Muestreo IQ , pero ahora los usaremos de una manera nueva y divertida. Para un s铆mbolo dado, podemos mostrar la amplitud y la fase en un gr谩fico de IQ. Para el ejemplo de BPSK dijimos que ten铆amos fases de 0 y 180 grados. Tracemos esos dos puntos en el gr谩fico del coeficiente intelectual. Asumiremos una magnitud de 1. En la pr谩ctica, realmente no importa qu茅 magnitud uses; un valor m谩s alto significa una se帽al de mayor potencia, pero tambi茅n puedes aumentar la ganancia del amplificador.

IQ plot or constellation plot of BPSK

El gr谩fico IQ anterior muestra lo que transmitiremos, o m谩s bien el conjunto de s铆mbolos desde el que transmitiremos. No muestra la portadora, por lo que puedes pensar que representa los s铆mbolos en la banda base. Cuando mostramos el conjunto de posibles s铆mbolos para un esquema de modulaci贸n determinado, lo llamamos 鈥渃onstelaci贸n鈥. Muchos esquemas de modulaci贸n pueden definirse por su constelaci贸n.

Para recibir y decodificar BPSK podemos usar el muestreo IQ, como aprendimos en el cap铆tulo anterior, y examinar d贸nde terminan los puntos en el gr谩fico de IQ. Sin embargo, habr谩 una rotaci贸n de fase aleatoria debido al canal inal谩mbrico porque la se帽al tendr谩 un retraso aleatorio a medida que pasa por el aire entre las antenas. La rotaci贸n de fase aleatoria se puede revertir utilizando varios m茅todos que aprenderemos m谩s adelante. A continuaci贸n se muestra un ejemplo de algunas formas diferentes en que la se帽al BPSK podr铆a aparecer en el receptor (esto no incluye el ruido):

A random phase rotation of BPSK occurs as the wireless signal travels through the air

Volvamos a PSK. 驴Qu茅 pasa si queremos cuatro niveles diferentes de fase? Es decir, 0, 90, 180 y 270 grados. En este caso, se representar铆a as铆 en el gr谩fico IQ y forma un esquema de modulaci贸n que llamamos modulaci贸n por desplazamiento de fase en cuadratura (QPSK):

Example of Quadrature Phase Shift Keying (QPSK) in the IQ plot or constellation plot

Para PSK siempre tenemos N fases diferentes, igualmente espaciadas alrededor de 360 grados para obtener mejores resultados. A menudo mostramos el c铆rculo unitario para enfatizar que todos los puntos tienen la misma magnitud:

Phase shift keying uses equally spaced constellation points on the IQ plot

Pregunta: 驴Qu茅 hay de malo en usar un esquema PSK como el de la imagen de abajo? 驴Es un esquema de modulaci贸n PSK v谩lido?

Example of non-uniformly spaced PSK constellation plot
Answer

No hay nada inv谩lido en este esquema PSK. Ciertamente puedes usarlo, pero debido a que los s铆mbolos no est谩n espaciados uniformemente, este esquema no es tan efectivo como podr铆a ser. La eficiencia del esquema quedar谩 clara una vez que analicemos c贸mo el ruido afecta nuestros s铆mbolos. La respuesta corta es que queremos dejar tanto espacio como sea posible entre los s铆mbolos, en caso de que haya ruido, para que el receptor no interprete un s铆mbolo como uno de los otros s铆mbolos (incorrectos). No queremos que un 0 se reciba como un 1.

Volvamos a PREGUNTAR por un momento. Tenga en cuenta que podemos mostrar ASK en el gr谩fico IQ al igual que PSK. Aqu铆 est谩 el gr谩fico de coeficiente intelectual de 2-ASK, 4-ASK y 8-ASK, en la configuraci贸n bipolar, as铆 como de 2-ASK y 4-ASK en la configuraci贸n unipolar.

Bipolar and unipolar amplitude shift keying (ASK) constellation or IQ plots

Como habr谩s notado, el 2-ASK bipolar y el BPSK son iguales. Un cambio de fase de 180 grados es lo mismo que multiplicar la sinusoide por -1. Lo llamamos BPSK, probablemente porque PSK se usa mucho m谩s que ASK.

Modulaci贸n en Amplitud y Cuadratura (QAM)

驴Qu茅 pasa si combinamos ASK y PSK? A este esquema de modulaci贸n lo llamamos modulaci贸n de amplitud en cuadratura (QAM). QAM normalmente se parece a esto:

Example of Quadrature Amplitude Modulation (QAM) on the IQ or constellation plot

Aqu铆 hay algunos otros ejemplos de QAM:

Example of 16QAM, 32QAM, 64QAM, and 256QAM on the IQ or constellation plot

Para un esquema de modulaci贸n QAM, t茅cnicamente podemos colocar puntos donde queramos en el gr谩fico IQ ya que la fase y la amplitud est谩n moduladas. Los 鈥減ar谩metros鈥 de un esquema QAM determinado se definen mejor mostrando la constelaci贸n QAM. Alternativamente, puede enumerar los valores I y Q para cada punto, como se muestra a continuaci贸n para QPSK:

Constellation or IQ plots can also be represented using a table of symbols

Tenga en cuenta que la mayor铆a de los esquemas de modulaci贸n, excepto los distintos ASK y BPSK, son bastante dif铆ciles de 鈥渧er鈥 en el dominio del tiempo. Para demostrar mi punto, aqu铆 hay un ejemplo de QAM en el dominio del tiempo. 驴Puedes distinguir entre la fase de cada s铆mbolo en la imagen de abajo? Est谩 duro.

Looking at QAM in the time domain is difficult which is why we use constellation or IQ plots

Dada la dificultad para discernir esquemas de modulaci贸n en el dominio del tiempo, preferimos utilizar gr谩ficos de IQ en lugar de mostrar la se帽al en el dominio del tiempo. No obstante, podr铆amos mostrar la se帽al en el dominio del tiempo si hay una determinada estructura de paquete o si la secuencia de s铆mbolos importa.

Frequency Shift Keying (FSK)

El 煤ltimo en la lista es la manipulaci贸n por desplazamiento de frecuencia (FSK). FSK es bastante sencillo de entender: simplemente cambiamos entre N frecuencias donde cada frecuencia es un s铆mbolo posible. Sin embargo, debido a que estamos modulando una portadora, en realidad es nuestra frecuencia portadora +/- estas N frecuencias. Por ejemplo, podr铆amos estar en una portadora de 1,2 GHz y cambiar entre estas cuatro frecuencias:

  1. 1,2005 GHz

  2. 1,2010 GHz

  3. 1,1995GHz

  4. 1,1990GHz

El ejemplo anterior ser铆a 4-FSK y habr铆a dos bits por s铆mbolo. Una se帽al 4-FSK en el dominio de la frecuencia podr铆a verse as铆:

Example of Frequency Shift Keying (FSK), specifically 4FSK

Si usa FSK, debe hacerse una pregunta cr铆tica: 驴Cu谩l deber铆a ser el espacio entre frecuencias? A menudo denotamos este espaciado como \Delta f en Hz. Queremos evitar la superposici贸n en el dominio de la frecuencia para que el receptor sepa qu茅 frecuencia utiliz贸 un s铆mbolo determinado, por lo que \Delta f debe ser lo suficientemente grande. El ancho de cada portadora en frecuencia es funci贸n de nuestra velocidad de s铆mbolo. M谩s s铆mbolos por segundo significa s铆mbolos m谩s cortos, lo que significa un ancho de banda m谩s amplio (recuerde la relaci贸n inversa entre el escalado de tiempo y frecuencia). Cuanto m谩s r谩pido transmitamos s铆mbolos, m谩s ancha se volver谩 cada portadora y, en consecuencia, m谩s grandes tendremos que hacer. \Delta f para evitar la superposici贸n de portadores. No entraremos en m谩s detalles sobre el dise帽o de FSK en este libro de texto.

Los gr谩ficos IQ no se pueden utilizar para mostrar diferentes frecuencias. Muestran magnitud y fase. Si bien es posible mostrar FSK en el dominio del tiempo, m谩s de 2 frecuencias dificultan la distinci贸n entre s铆mbolos:

Frequency Shift Keying (FSK) or 2FSK in the time domain

Adem谩s, tenga en cuenta que la radio FM utiliza modulaci贸n de frecuencia (FM), que es como una versi贸n anal贸gica de FSK. En lugar de tener frecuencias discretas entre las que saltamos, la radio FM utiliza una se帽al de audio continua para modular la frecuencia de la portadora. A continuaci贸n se muestra un ejemplo de modulaci贸n de FM y AM donde la 鈥渟e帽al鈥 en la parte superior es la se帽al de audio que se modula en la portadora.

Animation of a carrier, amplitude modulation (AM), and frequency modulation (FM) in the time domain

En este libro de texto nos ocupamos principalmente de las formas digitales de modulaci贸n.

Codificaci贸n diferencial

En muchos protocolos de comunicaciones inal谩mbricos (y cableados) basados en PSK o QAM, es probable que se encuentre con un paso que ocurre justo antes de que se modulen los bits (o inmediatamente despu茅s de la demodulaci贸n), llamado codificaci贸n diferencial. Para demostrar su utilidad, considere recibir una se帽al BPSK. A medida que la se帽al vuela por el aire, experimenta un retraso aleatorio entre el transmisor y el receptor, lo que provoca una rotaci贸n aleatoria en la constelaci贸n, como mencionamos anteriormente. Cuando el receptor se sincroniza con 茅l y alinea el BPSK con el eje 鈥淚鈥 (real), no tiene forma de saber si est谩 desfasado 180 grados o no, porque la constelaci贸n es sim茅trica. Una opci贸n es transmitir s铆mbolos cuyo valor el receptor conoce de antemano, mezclados con la informaci贸n, conocidos como s铆mbolos piloto. El receptor puede utilizar estos s铆mbolos conocidos para determinar qu茅 grupo es 1 o 0, en el caso de BPSK. Los s铆mbolos piloto deben enviarse en alg煤n per铆odo, relacionado con la rapidez con la que cambia el canal inal谩mbrico, lo que en 煤ltima instancia reducir谩 la velocidad de datos. En lugar de tener que mezclar s铆mbolos piloto en la forma de onda transmitida, podemos optar por utilizar codificaci贸n diferencial.

El caso m谩s simple de codificaci贸n diferencial es cuando se utiliza junto con BPSK, que implica un bit por s铆mbolo. En lugar de simplemente transmitir un 1 para 1 binario y un -1 para 0 binario, la codificaci贸n diferencial BPSK implica transmitir un 0 cuando el bit de entrada es el mismo que la codificaci贸n del bit anterior (no el bit de entrada anterior en s铆), y transmitiendo un 1 cuando difiere. Seguimos transmitiendo la misma cantidad de bits, aparte de un bit adicional que se necesita al principio para iniciar la secuencia de salida, pero ahora no tenemos que preocuparnos por la ambig眉edad de fase de 180 grados. Este esquema de codificaci贸n se puede describir utilizando la siguiente ecuaci贸n, donde x son los bits de entrada y y son los bits de salida que se modular谩n con BPSK:

y_i = y_{i-1} \oplus x_i

Debido a que la salida se basa en la salida del paso anterior, debemos comenzar la salida con un 1 o 0 arbitrario y, como mostraremos durante el proceso de decodificaci贸n, no importa cu谩l elijamos (a煤n debemos transmitir este 隆s铆mbolo! inicial).

Para aquellos estudiantes visuales, el proceso de codificaci贸n diferencial se puede representar como un diagrama, donde el bloque de retardo es una operaci贸n de retardo por 1:

Differential coding block diagram

Como ejemplo de codificaci贸n, considere transmitir los 10 bits [1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0] usando BPSK. Supongamos que comenzamos la secuencia de salida con 1; en realidad no importa si usas 1 o 0. Es 煤til mostrar los bits apilados uno encima del otro, asegur谩ndote de cambiar la entrada para dejar espacio para el bit de salida inicial:

Input:     1 1 0 0 1 1 1 1 1 0
Output:  1

A continuaci贸n, construye la salida comparando el bit de entrada con el bit de salida anterior y aplica la operaci贸n XOR que se muestra en la tabla anterior. Por lo tanto, el siguiente bit de salida es 0, porque 1 y 1 coinciden:

Input:     1 1 0 0 1 1 1 1 1 0
Output:  1 0

Repeat for the rest and you will get:

Input:     1 1 0 0 1 1 1 1 1 0
Output:  1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0

Despu茅s de aplicar la codificaci贸n diferencial, finalmente transmitir铆amos [1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0]. Los 1 y 0 todav铆a est谩n asignados a los s铆mbolos positivos y negativos que analizamos anteriormente.

El proceso de decodificaci贸n, que ocurre en el receptor, compara el bit recibido con el bit anterior recibido, lo cual es mucho m谩s sencillo de entender:

x_i = y_i \oplus y_{i-1}

Si recibiera los s铆mbolos BPSK [1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0], comenzar铆a por la izquierda y verificar铆a si los dos primeros coinciden; en este caso no es as铆, por lo que el primer bit es 1. Repita y obtendr谩 la secuencia con la que comenzamos, [1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0]. Puede que no sea obvio, pero el bit inicial que agregamos podr铆a haber sido un 1 o un 0 y obtendr铆amos el mismo resultado.

El proceso de codificaci贸n y decodificaci贸n se resume en el siguiente gr谩fico:

Demonstration of differential coding using sequence of encoded and decoded bits

La gran desventaja de utilizar codificaci贸n diferencial es que si tiene un error de bit, se producir谩n errores de dos bits. La alternativa al uso de codificaci贸n diferencial para BPSK es agregar s铆mbolos piloto peri贸dicamente, como se analiz贸 anteriormente, que tambi茅n se pueden usar para revertir/invertir trayectos m煤ltiples causados por el canal. Pero un problema con los s铆mbolos piloto es que el canal inal谩mbrico puede cambiar muy r谩pidamente, del orden de decenas o cientos de s铆mbolos si se trata de un receptor y/o transmisor en movimiento, por lo que necesitar铆a s铆mbolos piloto con la frecuencia suficiente para reflejar el canal cambiante. Entonces, si un protocolo inal谩mbrico pone gran 茅nfasis en reducir la complejidad del receptor, como el RDS que estudiamos en el capitulo Ejemplo Punto a Punto , puede optar por utilizar codificaci贸n diferencial.

Recuerde que el ejemplo de codificaci贸n diferencial anterior era espec铆fico de BPSK. La codificaci贸n diferencial se aplica a nivel de s铆mbolo, por lo que para aplicarla a QPSK se trabaja con pares de bits a la vez, y as铆 sucesivamente para esquemas QAM de orden superior. La QPSK diferencial a menudo se denomina DQPSK.

Ejemplo Python

Como ejemplo breve de Python, generemos QPSK en banda base y grafiquemos la constelaci贸n.

Aunque podr铆amos generar los s铆mbolos complejos directamente, comencemos sabiendo que QPSK tiene cuatro s铆mbolos a intervalos de 90 grados alrededor del c铆rculo unitario. Usaremos 45, 135, 225 y 315 grados para nuestros puntos. Primero generaremos n煤meros aleatorios entre 0 y 3 y realizaremos c谩lculos para obtener los grados que queremos antes de convertirlos a radianes.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

num_symbols = 1000

x_int = np.random.randint(0, 4, num_symbols) # 0 to 3
x_degrees = x_int*360/4.0 + 45 # 45, 135, 225, 315 degrees
x_radians = x_degrees*np.pi/180.0 # sin() and cos() takes in radians
x_symbols = np.cos(x_radians) + 1j*np.sin(x_radians) # this produces our QPSK complex symbols
plt.plot(np.real(x_symbols), np.imag(x_symbols), '.')
plt.grid(True)
plt.show()
QPSK generated or simulated in Python

Observa c贸mo se superponen todos los s铆mbolos que generamos. No hay ruido por lo que todos los s铆mbolos tienen el mismo valor. Agreguemos algo de ruido:

n = (np.random.randn(num_symbols) + 1j*np.random.randn(num_symbols))/np.sqrt(2) # AWGN with unity power
noise_power = 0.01
r = x_symbols + n * np.sqrt(noise_power)
plt.plot(np.real(r), np.imag(r), '.')
plt.grid(True)
plt.show()
QPSK with AWGN noise generated or simulated in Python

Considere c贸mo el ruido blanco gaussiano aditivo (AWGN) produce una dispersi贸n uniforme alrededor de cada punto de la constelaci贸n. Si hay demasiado ruido, los s铆mbolos comenzar谩n a sobrepasar el l铆mite (los cuatro cuadrantes) y el receptor los interpretar谩 como un s铆mbolo incorrecto. Intenta aumentar noise_power hasta que eso suceda.

Para aquellos interesados en simular el ruido de fase, que podr铆a resultar de la fluctuaci贸n de fase dentro del oscilador local (LO), reemplace el r con:

phase_noise = np.random.randn(len(x_symbols)) * 0.1 # adjust multiplier for "strength" of phase noise
r = x_symbols * np.exp(1j*phase_noise)
QPSK with phase jitter generated or simulated in Python

Incluso puedes combinar ruido de fase con AWGN para obtener la experiencia completa:

QPSK with AWGN noise and phase jitter generated or simulated in Python

Nos detendremos en este punto. Si quisi茅ramos ver c贸mo se ve la se帽al QPSK en el dominio del tiempo, necesitar铆amos generar m煤ltiples muestras por s铆mbolo (en este ejercicio solo hicimos 1 muestra por s铆mbolo). Aprender谩 por qu茅 necesita generar varias muestras por s铆mbolo una vez que analicemos la configuraci贸n de pulsos. El ejercicio de Python en el capitulo Formador de Pulso Continuaremos donde lo dejamos aqu铆.

Otras lecturas

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_coding